Tartalom
- A származék mint lejtő
- A teljesítményfunkció származéka
- Származékos termékek egy sorozatból
- Származékok az asztalokból
A számításban elvégzendő egyik fontos művelet a származékok keresése. A függvény derivációját szintén úgy hívják, hogy ennek a függvénynek a változási sebessége. Például, ha x (t) a kocsi pozíciója t bármikor, akkor x deriváltja, amelyet dx / dt-nek írunk, a kocsi sebessége. A derivált is megjeleníthető a függvény gráfához érintő vonal meredekségeként. Elméleti szinten a matematikusok így találják meg a származékokat. A gyakorlatban a matematikusok az alapszabályokat és a keresési táblázatokat használják.
A származék mint lejtő
A két pont közötti vonal meredeksége az y értékek emelkedése vagy különbsége osztva a futással, vagy az x értékek különbsége. Az y (x) függvény meredekségét egy bizonyos x értékhez úgy határozzuk meg, hogy egy vonal meredeksége megegyezik a pontban levő funkcióval. A lejtés kiszámításához egy vonalot kell felépíteni a pont és a közeli pont között, ahol h nagyon kicsi szám. Ezen a vonalon a futtatás vagy az x érték változása h, és a növekedés, vagy az y érték változása y (x + h) - y (x). Következésképpen az y (x) meredeksége a ponton megközelítőleg egyenlő / = / h-val. Ahhoz, hogy pontosan megkapja a meredekséget, kiszámítja a meredekség értékét, amikor a h egyre kisebb lesz, és a „határértékre” kerül, ahol nulla lesz. Az így kiszámított meredekség y (x) származéka, amelyet y '(x) vagy dy / dx-ként írnak.
A teljesítményfunkció származéka
A meredekség / határ módszer segítségével kiszámolhatjuk azon függvények származékait, ahol y x-vel egyenlő a a, vagy y (x) = x ^ a-hoz. Például, ha y x kockára esik, y (x) = x ^ 3, akkor dy / dx a határérték, mivel h a / h nullájára megy. Az (x + h) ^ 3 kibővítésével / h-t kapunk, amely 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2-re csökken, miután h-vel osztottuk. A határértékben, amikor a h nullára esik, az összes olyan kifejezés, amelyekben h van, szintén nulla. Tehát y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Ezt megteheti a 3-tól eltérő értékeknél, és általában megmutathatja, hogy d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Származékos termékek egy sorozatból
Számos függvényt írhatunk úgy, mint amit hatalom sorozatnak nevezünk, amelyek egy végtelen számú kifejezés összegét jelentik, ahol mindegyik C (n) x ^ n alakú, ahol x változó, n értéke egész és C ( n) n szám minden egyes értékére egy egyedi szám. Például a szinuszfunkcióhoz tartozó sorozat a Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., ahol a "..." a a végtelenig. Ha ismeri a függvény teljesítmény sorozatát, akkor az x ^ n teljesítmény deriváltját használhatja a függvény deriváltjának kiszámításához. Például, a Sin (x) deriváltja egyenlő 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ... -val, ami valószínűleg a Cos (x) teljesítménysorozatát jelenti.
Származékok az asztalokból
Az olyan alapfunkciók származékait, mint például a hatalmak, mint például az x ^ a, az exponenciális függvények, a log függvények és a trig függvények, lejtő / határ módszerrel, teljesítmény sorozat módszerrel vagy más módszerrel találjuk meg. Ezeket a származékokat ezután táblázatokban soroljuk fel. Megnézheti például, hogy a Sin (x) származéka Cos (x). Ha az összetett függvények az alapfunkciók kombinációi, akkor speciális szabályokra van szükség, például a láncszabályra és a termékszabályra, amelyeket a táblázatok is tartalmaznak. Például a láncszabály segítségével megállapíthatja, hogy a Sin (x ^ 2) származéka 2xCos (x ^ 2). A termékszabály használatával megállapíthatja, hogy az xSin (x) származéka xCos (x) + Sin (x). Táblázatokkal és egyszerű szabályokkal bármilyen függvény származékát megtalálhatja. De amikor egy funkció rendkívül bonyolult, a tudósok néha számítógépes programokat keresnek segítségért.