Tartalom
- Hogyan írhatunk a gravitációs központról?
- Hogyan lehet kiszámítani a háromszög CG-jét?
- Egy téglalap gravitációs központjának formulája
- A gravitációs egyenlet
- Trükkök a gravitációs központ megtalálásához
Mielőtt megbeszéljük a súlypontját, tegyük fel néhány paramétert. Az egyik, hogy egy tárgyat foglalkoztat, amely a Föld felszínén van, nem pedig valahol az űrben. És kettő, hogy a tárgy ésszerűen kicsi - mondjuk, nem egy űrhajó, amely a Földön parkolt és felszállásra vár.Miután kiküszöbölte a földön kívüli összes befolyást, jó helyzetben van ahhoz, hogy a geometriai objektumok súlypontját egy viszonylag egyszerű képlet segítségével kiszámítsa - és valójában az éppen beállított feltételek miatt ugyanazt a képletet fogod használni a gravitációs középpont megtalálásához, mint a hogy megtalálja a tömeg központját.
Hogyan írhatunk a gravitációs központról?
A kétdimenziós sík súlypontját általában a koordináták jelzik (xcg, ycg), vagy néha a változók alapján x és y egy bárral felettük. Ugyancsak a "gravitációs központ" kifejezést néha rövidítik cg-re.
Hogyan lehet kiszámítani a háromszög CG-jét?
A matematikai vagy fizikai könyvében gyakran vannak táblázatok, amelyek meghatározzák egyes számok egyensúlyának központját. Néhány általános geometriai alak esetében azonban a megfelelő tömegközéppont-képlettel keresse meg az alakzatokat.
Háromszögek esetén a súlypont arra a pontra helyezkedik el, ahol mind a három medián keresztezi egymást. Ha a háromszög egyik csúcsán kezdünk, majd egyeneset húzunk a másik oldal középpontjához, az egy medián. Ugyanezt tegye a másik két csúcsra, és az a pont, ahol mind a három medián metszi egymást, a háromszögek súlypontja.
És természetesen erre a képlet is van. Ha a háromszögek súlypontjának koordinátái (xcg, ycg), így megtalálja a koordinátáit:
xcg = (x1 + x2 + x3) ÷ 3
ycg = (y1 + y2 + y3) ÷ 3
Hol (x1, y1), (x2, y2) és (x3, y3) a háromszög három csúcsának koordinátái. Kiválaszthatja, melyik csúcsot melyik számhoz rendeli.
Egy téglalap gravitációs központjának formulája
Észrevette, hogy egy háromszög súlypontjának megkereséséhez átlagolja az x-koordináták értékét, majd átlagolja az y-koordináták értékét, és a két eredményt használja a súlypontjának koordinátáiként?
Pontosan ugyanazt kell tennie, ha meg szeretné találni egy téglalap súlypontját. A számítások még könnyebbé tétele érdekében tegyük fel, hogy a téglalap derékszögben egy derékszögű koordináta síkhoz van orientálva (tehát nem szögben van beállítva), és hogy bal alsó csúcsa a grafikon eredetije. Ebben az esetben a (xcg, ycg) egy téglalapnál csak annyit kell számolnia:
xcg = szélesség ÷ 2
ycg = magasság ÷ 2
Ha nem akarja áthelyezni a téglalapot a koordináta sík kezdete felé, vagy ha valamilyen okból kifolyólag nem pontosan a négyzet a koordinátatengelyekhöz, akkor szembe kell néznie ezzel a kissé borzalmasabb, de mégis hatékony képlettel, hogy az összes x koordinátáját átlagolja. hogy megtaláljuk az x értékétcg, és átlagolja az összes y-koordinátát y értékének meghatározásáhozcg:
xcg = (x1 + x2 + x3 + x4) ÷ 4
ycg = (y1 + y2 + y3 + y4) ÷ 4
A gravitációs egyenlet
Mi lenne, ha ki kell számítania a súlypontját egy olyan alak számára, amely megfelel az összes előbb említett feltételezésnek (alapvetően nem próbálkozik szó szerinti rakétatudománygal azáltal, hogy az űrben lévő tárgyak gravitációs központját megtalálja), de nem tartozik az az éppen említett kategóriák, vagy a könyv hátulján található táblázatokba? Ezután feloszthatja alakját ismeretlenebb formákra, és a következő egyenletekkel határozhatja meg azok kollektív súlypontját:
xcg = (a1x1 + a2x2 +. . . + anxn) ÷ (a1 + a2 +. . . + an)
ycg = (a1y1 + a2y2 +. . . + anyn) ÷ (a1 + a2 +. . . + an)
Vagy másképpen fogalmazva, xcg megegyezik a szekció területének az x tengelyen lévő helyének 1-szeresével, hozzáadva a szekció területéhez kétszeresen annak helyétől, és így tovább, amíg összeadja az összes szakasz területének és szorzatainak szorzatát; akkor ossza meg ezt a teljes összeget az összes szakasz teljes területével. Akkor tegye ugyanezt y-vel.
K: Hogyan találom meg az egyes szakaszok területét? Ha bonyolult vagy szabálytalan alakját ismeretlenebb poligonokra osztja, akkor szabványosított képleteket használhat a terület megkeresésére. Például, ha ezt a formát téglalap alakú darabra osztotta, akkor a képlet hossza × szélessége alapján megkeresheti az egyes darabok területét.
K: Mi az egyes szakaszok "elhelyezkedése"? Az egyes szakaszok elhelyezkedése a megfelelő koordináták az adott szakaszok súlypontjától. Tehát, ha azt akarja,2 (a 2. szegmens helyét), ténylegesen meg kell adnia az adott szegmens súlypontjának y-koordinátáját. Ezért is osztja egy furcsa alakú objektumot ismeretlenebb formákba, mert a már tárgyalt képletek segítségével megtalálhatja az egyes alakzatok súlypontját, majd kinyerheti a megfelelő koordinátákat.
K: Hol megy az alakom a koordináta síkon? Kiválaszthatja, hogy az alakja hol helyezkedik el a koordináta síkján - csak ne feledje, hogy a válaszok súlypontja ugyanazon referenciaponthoz viszonyítva lesz. Legegyszerűbben elhelyezheti az objektumot a grafikon első negyedében, az alsó széle az x tengelyhez viszonyítva, a bal széle az y tengelyhez viszonyítva, hogy az összes x és y érték pozitív legyen, de ugyanakkor elég kicsi is ahhoz, hogy kezelhető.
Trükkök a gravitációs központ megtalálásához
Ha egyetlen objektummal foglalkozik, az intuíció és a kis logika néha csak annyit igényel, hogy megtalálja annak súlypontját. Például, ha egy sima lemezt vesz figyelembe, akkor a súlypontja lesz a lemez középpontja. Egy hengerben annak középpontja a hengerek tengelyén. Egy téglalap (vagy négyzet) esetében az az pont, ahol az átlós vonalak összefonódnak.
Lehet, hogy észlelte a mintát itt: Ha a kérdéses objektum szimmetria vonallal rendelkezik, akkor a súlypont ezen a vonalon helyezkedik el. És ha több szimmetriatengelye van, akkor a súlypontja ott lesz, ahol ezek a tengelyek metszik egymást.
Végül, ha megpróbálja megtalálni a valóban összetett objektum gravitációs központját, akkor két lehetősége van: Vagy hajtsa ki a legjobb kalkulus integrálokat (lásd a Hármas integrál forrásait, amely az egyenetlen tömeg súlypontját képviseli), vagy adja meg adatait egy célra épített súlypont-kalkulátorban. (Lásd a forrásokat egy rádióvezérelt síkok gravitációs központ számológépére.)