Tartalom
- Az abszolút érték egyenlőtlenségének meghatározása
- Hogyan oldható meg az abszolút érték-egyenlőtlenség?
- Abszolút érték-egyenlőtlenségek megoldás nélkül
- Intervallum jelölés
Az abszolút értékbeli egyenlőtlenségek megoldása nagyjából hasonlít az abszolút érték egyenletek megoldására, de van néhány további részlet, amelyeket figyelembe kell venni. Segít abban, hogy az abszolút érték egyenleteket már kényelmesen megoldja, de rendben van, ha együtt is megtanulod őket!
Az abszolút érték egyenlőtlenségének meghatározása
Először is, egy abszolút érték-egyenlőtlenség egy olyan egyenlőtlenség, amely abszolút érték kifejezést tartalmaz. Például,
| 5 + x | - 10> 6 abszolút érték-egyenlőtlenség, mivel egyenlőtlenségi jelrel>, és abszolút érték kifejezéssel rendelkezik | 5 + x |.
Hogyan oldható meg az abszolút érték-egyenlőtlenség?
A az abszolút értékbeli egyenlőtlenség megoldásának lépései hasonlóak az abszolút érték egyenlet megoldásának lépései:
1. lépés: Izolálja az abszolút érték kifejezését az egyenlőtlenség egyik oldalán.
2. lépés: Oldja meg az egyenlőtlenség pozitív "változatát".
3. lépés: Oldja meg az egyenlőtlenség negatív "verzióját" úgy, hogy megszorozza az egyenlőtlenség másik oldalán levő mennyiséget −1-gyel és megfordítja az egyenlőtlenség jelet.
Sokat kell tennie egyszerre, tehát itt van egy példa, amely végigvezeti a lépéseket.
Oldja meg az egyenlőtlenséget a x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Ehhez szerezzen be 5 + 5_x_ | önmagában az egyenlőtlenség bal oldalán. Csak annyit kell tennie, hogy mindkét oldalához hozzáad 3-at:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Most van az egyenlőtlenség két "változata", amelyet meg kell oldanunk: a pozitív "és a negatív".
Feltételezzük, hogy ehhez a lépéshez a dolgok olyanok, mint amilyennek látszik: hogy 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Ez egy egyszerű egyenlőtlenség; csak meg kell oldani x mint általában. Kivonja az 5-et mindkét oldalról, majd osztja mindkét oldalát 5-szel.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (kivonjon ötöt mindkét oldalról)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (mindkét oldalt el kell osztani ötvel)
x > 0.
Nem rossz! Tehát az egyenlőtlenségünk egyik lehetséges megoldása az x > 0. Most, mivel vannak abszolút értékek, az idő mérlegelni kell egy másik lehetőséget.
A következő rész megértéséhez segít megjegyezni, hogy mit jelent az abszolút érték. Abszolút érték egy számtávolságot mér a nullától. A távolság mindig pozitív, tehát a 9 kilenc egység van a nullától, de −9 szintén kilenc egység van a nullától.
Tehát | 9. | = 9, de | −9 | = 9 is.
Most vissza a fenti problémához. A fenti munka rámutatott | 5 + 5_x_ | > 5; más szóval, a "valami" abszolút értéke nagyobb, mint öt. Most minden ötnél nagyobb pozitív szám nullától távolabb lesz, mint öt. Az első lehetőség tehát az volt, hogy "valami" 5 + 5_x_ nagyobb, mint 5.
Vagyis: 5 + 5_x_> 5.
A fentiekben tárgyalt forgatókönyv, a 2. lépésben.
Most gondolj egy kicsit tovább. Mi még van öt egység távol a nullától? Nos, a negatív öt az. És bármi, ami az öt negatív szám sorszáma mentén megy tovább, még inkább lesz a nullától. Tehát a „valami” negatív szám lehet a nullától távolabbi, mint az öt negatív. Ez azt jelenti, hogy nagyobb hangzású szám lenne, de technikailag kevesebb, mint negatív öt, mert negatív irányba halad a számsoron.
Tehát a „valami” 5 + 5x-nél kisebb lehet –5-nél.
5 + 5_x_ <−5
Ez algebrai módon a gyors módja az, hogy megszorozzuk a mennyiséget az egyenlőtlenség másik oldalán, 5 negatívval, majd fordítsuk meg az egyenlőtlenségi jelet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Akkor oldja meg a szokásos módon.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (kivonj 5-et mindkét oldalról)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Tehát az egyenlőtlenség két lehetséges megoldása a következő x > 0 vagy x <−2. Ellenőrizze magát néhány lehetséges megoldás csatlakoztatásával, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az egyenlőtlenség továbbra is fennáll-e.
Abszolút érték-egyenlőtlenségek megoldás nélkül
Van egy forgatókönyv, ahol lenne nincs megoldás az abszolút értékbeli egyenlőtlenségre. Mivel az abszolút értékek mindig pozitívak, nem lehetnek egyenlők vagy kisebbek, mint a negatív számok.
Tehát | x | <−2-nek van nincs megoldás mert az abszolút érték kifejezésének kimenetelének pozitívnak kell lennie.
Intervallum jelölés
Írjuk meg a megoldást a fő példánkba intervallum jelölés, gondoljon arra, hogy a megoldás hogyan néz ki a sorsoron. A mi megoldásunk az volt x > 0 vagy x <−2. Számsoron egy nyitott pontot jelentenek 0-on, egy pozitív végtelenségig húzódó vonallal, és egy –2-nél nyitott ponttal, a vonal negatív végtelenségig tartva. Ezek a megoldások egymástól távolabb, nem egymás felé mutatnak, tehát vegye az egyes darabokat külön-külön.
Ha egy számsoron x> 0, akkor egy nyitott pontot mutat nullán, majd egy végtelenig húzó sort. Időközönként a nyitott pontot zárójelben () mutatjuk be, és egy zárt pontot, vagy az ≥ vagy ≤ egyenlőtlenségek zárójeleket használunk,. Így x > 0, írj (0, ∞).
A másik fele, x <−2, egy számsorban egy nyitott pont van −2 pontnál, majd egy nyíl, amely egészen −∞-ig terjed. Időközben, ez (−∞, −2).
"Vagy" időközönként az unió jele, ∪.
Tehát a megoldás intervallum jelöléssel (−∞, −2) ∪ (0, ∞).