Hogyan lehet egyszerűsíteni a komplex számokat

Tartalom

• TL; DR (túl hosszú; nem olvastam)
• Mi az a komplex szám?
• Alapvető szabályok az összetett számokkal rendelkező algebra számára
• Komplex számok felosztása
• A komplex számok egyszerűsítése

Az Algebra gyakran magában foglalja a kifejezések egyszerűsítését, de néhány kifejezés zavaróbb a kezelése, mint mások. Az összetett számok a én, egy „képzeletbeli” szám a tulajdonsággal én = √ − 1. Ha egyszerűen csak egy összetett számot tartalmazó kifejezést kell használnia, félelmetesnek tűnik, de ez elég egyszerű folyamat, miután megtanulta az alapszabályokat.

TL; DR (túl hosszú; nem olvastam)

Egyszerűsítse a komplex számokat az algebra szabályainak követésével a komplex számokkal.

Mi az a komplex szám?

A komplex számokat a én kifejezés, amely a mínusz négyzetgyöke. Az alapszintű matematikában a negatív számok négyzetgyöke valójában nem létezik, de alkalmanként megjelennek algebrai problémákban. A komplex szám általános alakja megmutatja szerkezetüket:

Z = egy + kettős

Ahol Z felcímkézi a komplex számot, egy bármilyen számot képvisel (amelyet „valódi” résznek hívnak), és b egy másik számot képvisel (úgynevezett „képzeletbeli” rész), amelyek mindkettő lehet pozitív vagy negatív. Tehát egy példa komplex számra:

Z = 2 −4_i_

Mivel a negatív számok négyzetes gyökerei többszörösei lehetnek én, ez az összes komplex szám formája. Technikailag a rendes szám csak egy komplex szám különleges esetét írja le, ahol b = 0, tehát minden szám összetettnek tekinthetõ.

Alapvető szabályok az összetett számokkal rendelkező algebra számára

Összetett számok összeadásához és kivonásához egyszerűen össze kell vonni vagy kivonni a valódi és a képzeletbeli részeket külön-külön. Tehát komplex számok esetén Z = 2 - 4_i_ és w = 3 + 5_i_, az összeg:

Z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)én

= 5 + 1_i_ = 5 + én

A számok kivonása ugyanúgy működik:

Z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)én

= −1 - 9_i_

A szorzás egy újabb egyszerű művelet komplex számokkal, mert úgy működik, mint a szokásos szorzás, kivéve, ha ezt nem szabad megjegyezni én² = −1. Tehát a 3_i_ × −4_i_ kiszámításához:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

De azóta én²= −1, akkor:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

Teljes komplex számokkal (a Z = 2 - 4_i_ és w = Ismét 3 + 5_i_), szorozzuk meg ugyanúgy, mint a normál számokkal, például (egy + b) (c + d) az „első, belső, külső, utolsó” (FOIL) módszer alkalmazásával (egy + b) (c + d) = ac + időszámításunk előtt + hirdetés + bd. Csak annyit kell emlékeznie, hogy egyszerűsíteni kell a példányokat én². Tehát például:

Z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Komplex számok felosztása

A komplex számok elosztása magában foglalja a frakció számlálójának és nevezőjének szorzását a nevező komplex konjugátumával. A komplex konjugátum azt jelenti, hogy a komplex szám változatát a képzeletbeli rész fordítottan aláírja. Így Z = 2 - 4_i_, a komplex konjugátum Z = 2 + 4_i_, és azért w = 3 + 5_i_, w = 3 –5_i_. A probléma esetén:

Z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

A konjugátum szükséges w*. Osszuk a számlálót és a nevezőt ebből a következőképpen:

Z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

És akkor dolgozza át, mint az előző szakaszban. A számláló megadja:

(2 - 4_i_) (3 - 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

És a nevező megadja:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Ez azt jelenti, hogy:

Z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

A komplex számok egyszerűsítése

A komplex kifejezések egyszerűsítéséhez szükség szerint használja a fenti szabályokat. Például:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - én)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ én))

Ez egyszerűsíthető az összeadási szabály használatával a számlálóban, a szorzószabálynak a nevezőben, majd az osztással. A számláló számára:

(4 + 2_i_) + (2 - én) = 6 + én

A nevező:

(2 + 2_i _) (2+ én) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Ezek helyreállítása a következőket adja:

Z = (6 + én) / (2 + 6_i_)

Mindkét rész szorzása a nevező konjugátumával:

Z = (6 + én) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18-34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Tehát ez azt jelenti Z az alábbiak szerint egyszerűsíti:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - én)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ én)) = 9/20 −17_i_ / 20