Hogyan befolyásolja a polinomokat frakciókkal

Tartalom

• Polinomok definiált frakciókkal
• A faktorálás alapjai - elosztó tulajdonság és a FOIL módszer
• A polinom frakciók tényezőinek meghatározásakor megteendő lépések
• Az egyenletek kiértékelése részleges frakcióbontással
• Egyszerűsítse a nevezőt
• Átrendezze a számlálót

A polinomok frakciókkal való faktorozásának legjobb módja a frakciók egyszerűbb kifejezésekre történő redukciója. A polinomok két vagy több kifejezéssel algebrai kifejezéseket képviselnek, pontosabban azon több kifejezés összegét, amelyek ugyanazon változó különböző kifejezéseit mutatják. A polinomok egyszerűsítését segítő stratégiák magukban foglalják a legnagyobb közös tényező kiszámítását, majd az egyenletet a legalacsonyabb értékekbe csoportosítják. Ugyanez igaz akkor is, ha a polinomokat frakciókkal oldják meg.

Polinomok definiált frakciókkal

Háromféle módon tekintheti meg a polinomok kifejezéseket frakciókkal. Az első értelmezés a polinomokra vonatkozik, az együtthatók frakcióival. Az algebrában az együtthatót egy változó előtt talált számmennyiséggel vagy állandóval kell meghatározni. Más szavakkal, a 7a, b és (1/3) c együtthatói 7, 1 és (1/3). Ezért két példa lenne a frakció-együtthatóval rendelkező polinomokra:

(1/4) x² + 6x + 20, valamint x² + (3/4) x + (1/8).

A „frakciókkal rendelkező polinomok” második értelmezése frakcióban vagy arányban létező polinomokra vonatkozik, számlálóval és nevezővel, ahol a számláló polinomot elosztjuk a nevező polinomával. Ezt a második értelmezést például szemlélteti:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

A harmadik értelmezés eközben a részleges frakciók lebontására vonatkozik, amelyet részleges frakció-expanziónak is nevezünk. A polinom frakciók néha olyan bonyolultak, hogy amikor „lebontják” vagy „lebontják” egyszerűbb kifejezésekre, azokat polinom frakciók összegeként, különbségeiként, szorzataként vagy hányadosaként mutatják be. A szemléltetés céljából a (8x + 7) ÷ (x² A + x - 2) részleges frakcióbomlással értékelhető, amely egyébként magában foglalja a polinomok faktorozását, hogy + legyen a legegyszerűbb formában.

A faktorálás alapjai - elosztó tulajdonság és a FOIL módszer

A tényezők két számot képviselnek, amelyek szorzásukkor egyenlő egy harmadik számmal. Az algebrai egyenletekben a faktoring határozza meg, hogy melyik két mennyiséget szorozzuk meg egy adott polinom eléréséhez. A disztribúciós tulajdonságot nagymértékben követik a polinomok szorzásánál. A disztribúciós tulajdonság lényegében lehetővé teszi az összegek szorozását az egyes számok külön-külön szorzásával, mielőtt a termékeket hozzáadnák. Vegye figyelembe például a disztribúciós tulajdonság alkalmazását a következő példában:

7 (10x + 5), hogy elérje a 70x + 35 binomiumot.

De ha két binomiumot megszorozzuk, akkor a disztribúciós tulajdonság kibővített változatát használjuk a FOIL módszerrel. A FOIL az első, a külső, a belső és az utolsó kifejezés rövidítésének rövidítése. Ezért a faktoring polinomok a FOIL módszer visszafelé történő végrehajtását vonják maguk után. Vegyük a fent említett két példát a frakciós együtthatókat tartalmazó polinomokkal. Ha mindegyiküknél a FOIL-módszert hátra végzik, az a következő tényezőkkel jár:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) az első polinomra és a következő tényezőkre:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) a második polinomhoz.

Példa: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Példa: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

A polinom frakciók tényezőinek meghatározásakor megteendő lépések

Fentről a polinom frakciói a számlálóban lévő polinomot osztják el a nevezőben lévő polinommal. A polinom frakciók értékeléséhez tehát először a számláló polinomot kell faktorozni, majd a nevező polinomának faktorozását kell elvégezni. Segít megtalálni a legnagyobb közös tényezőt (GCF) a számláló és a nevező között. Ha megtaláljuk a számláló és a nevező GCF-jét, ez törlődik, végül az egész egyenletet egyszerűsítve redukálva. Vegyük figyelembe a fenti eredeti polinom frakció példát

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

A számláló és a nevező polinomok faktorozása a GCF eredmények megállapításához:

÷, a GCF értéke (x + 2).

A GCF mind a számlálóban, mind a nevezőben kiiktatja egymást, hogy a végső választ (x + 5) ÷ (x + 9) legalacsonyabb értelemben adja meg.

Példa:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Az egyenletek kiértékelése részleges frakcióbontással

A részleges frakciók lebontása, amely magában foglalja a faktorozást is, a bonyolult polinom frakció egyenleteinek egyszerűbb formába írásának egyik módja. A fenti példa felülvizsgálata

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Egyszerűsítse a nevezőt

Egyszerűsítse a nevezőt, így kapva: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Átrendezze a számlálót

Ezután rendezze át a számlálót úgy, hogy a GCF-ek jelenjenek meg a nevezőben, így:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, amelyet tovább bővítünk {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷} értékre.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

A bal oldali kiegészítésnél a GCF értéke (x - 1), míg a jobb oldali kiegészítésnél a GCF értéke (x + 2), amely törli a számlálóban és a nevezőben, a {+} szerint.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Így, amikor a GCF-ek visszavonnak, a végső egyszerűsített válasz +:

3 5

__ + __ a részleges frakció lebontásának megoldásaként.

x + 2 x - 1