Tartalom
Amint elkezdi megoldani a polinomokkal kapcsolatos algebrai egyenleteket, nagyon hasznos lesz a képesség a polinomok speciális, könnyen alakítható formáinak felismerésére. Az egyik leghasznosabb "könnyű tényezőjű" polinom észlelése a tökéletes négyzet, vagy a háromsáv, amely a binomiális négyzet megsértéséből származik. Miután azonosítottál egy tökéletes négyzetet, az egyes komponensekbe történő faktoring gyakran a problémamegoldási folyamat létfontosságú része.
A tökéletes négyzet alakú háromsávok azonosítása
Mielőtt tényezővé tenné a tökéletes négyzet alakú trinomust, meg kell tanulnia felismerni azt. A tökéletes négyzet kétféle formát ölthet:
Néhány példa a tökéletes négyzetekre, amelyeket a matematikai feladatok „való világában” láthat:
Mi a kulcsa e tökéletes négyzetek felismerésének?
Ellenőrizze a trinomial első és harmadik tagját. Mindkettő négyzet? Ha igen, akkor derítse ki, hogy melyik négyzet. Például a fent említett második „valós világ” példában: y2 - 2_y_ + 1, a kifejezés y2 nyilvánvalóan a y. Az 1 kifejezés talán kevésbé nyilvánvaló az 1 négyzete, mert 12 = 1.
Szorozzuk meg az első és a harmadik kifejezés gyökereit. A példa folytatására, az y és 1, amely megadja neked y × 1 = 1_y_ vagy egyszerűen y.
Ezután szorozza meg termékét 2-rel. Folytatva a példát, akkor 2_y._
Végül hasonlítsa össze az utolsó lépés eredményét a polinom középtávával. Egyezik? A polinomban y2 - 2_y_ + 1, igen. (A jel nem releváns; akkor is mérkőzés, ha a középtáv + 2_y_ lenne.)
Mivel az 1. lépésben a válasz igen, és a 2. lépés eredménye megegyezik a polinom középtávával, tudod, hogy egy tökéletes négyzet alakú trinomiumra nézel.
A tökéletes négyzet alakú háromsávos faktorálása
Ha tudod, hogy egy tökéletes négyzet alakú trinomiumra nézel, a faktorálás folyamata meglehetősen egyszerű.
Azonosítsa a gyökereket vagy a négyzetbe kerülő számokat a trinomium első és harmadik szempontjából. Vegyük fontolóra egy másik trinomialis példáját, amelyről már tudod, hogy egy tökéletes négyzet, x2 + 8_x_ + 16. Nyilvánvaló, hogy az első kifejezésben négyzet van x. A harmadik ciklusban négyzetbe eső szám 4, mert 42 = 16.
Gondoljon vissza a tökéletes négyzet alakú trinomális képletekre. Tudod, hogy a tényezők vagy a következő formában vannak (egy + b)(egy + b) vagy az űrlap (egy – b)(egy – b), ahol egy és b az a szám, amelyet az első és a harmadik kifejezésben négyzetbe állítunk. Így tehát így írhatja ki tényezőit, elmulasztva az egyes kifejezések közepén lévő jeleket:
(egy ? b)(egy ? b) = egy2 ? 2_ab_ + b2
Ha folytatni szeretné a példát a jelenlegi trinomium gyökereinek helyettesítésével, akkor:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Ellenőrizze a trinomium középtávát. Van pozitív vagy negatív jele (vagy másként fogalmazva: összeadják vagy levonják)? Ha pozitív jele van (vagy hozzáadódik), akkor a trinomialis mindkét tényezője közepén pluszjelet mutat. Ha negatív előjele van (vagy kivonják), akkor mindkét tényező középen negatív jelet mutat.
A jelenlegi példa trinomium középtávja 8_x_ - pozitív - tehát most már figyelembe vette a tökéletes négyzet alakú trinomit:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Ellenőrizze a munkáját, szorozva a két tényezőt. A FOIL vagy az első, a külső, a belső és az utolsó módszer alkalmazása a következőket nyújtja:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Ennek egyszerűsítése adja az eredményt x2 + 8_x_ + 16, amely megegyezik a trinomiálisoddal. Tehát a tényezők helyesek.