Tartalom
- Miért fontosak az exponenciális funkciók?
- Pont-ponttól grafikonig
- Egy pont az X tengelyen
- Egyik pont sem az X tengelyen
- Példa a való világból
Ha tud két pontot, amelyek egy adott exponenciális görbére esnek, akkor a görbét úgy definiálhatja, hogy az általános exponenciális függvényt ezeknek a pontoknak a felhasználásával oldja meg. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy az y és ab egyenletben az y és x pontokat helyettesítjükx. Az eljárás könnyebb, ha az egyik pont x-értéke 0, azaz a pont az y tengelyen van. Ha egyik pontnak nulla x értéke van, akkor az x és y megoldására bonyolultabb az eljárás.
Miért fontosak az exponenciális funkciók?
Számos fontos rendszer követi a növekedés és a pusztulás exponenciális mintáit. Például a kolóniában a baktériumok száma általában exponenciálisan növekszik, és a nukleáris eseményt követő környezeti sugárzás a légkörben általában exponenciálisan csökken. Az adatok begyűjtésével és egy görbe ábrázolásával a tudósok jobb helyzetben vannak előrejelzések készítéséhez.
Pont-ponttól grafikonig
A kétdimenziós gráf bármely pontját két szám ábrázolhatja, amelyek általában az (x, y) formában vannak írva, ahol x határozza meg az eredeti vízszintes távolságot, y pedig a függőleges távolságot. Például a (2, 3) pont az y tengelytől jobbra két egységgel és az x tengely felett három egységgel van. Másrészt, a (-2, -3) pont két egységgel rendelkezik az y tengelytől balra. és három egység az x tengely alatt.
Ha két pontja van, (x1, y1) és (x2, y2) meghatározhatja az ezeken a pontokon áthaladó exponenciális függvényt az y = ab egyenlet helyettesítésévelx és az a és b megoldása. Általában ezt a páros egyenletet kell megoldania:
y1 = abx1 és y2 = abx2, .
Ebben a formában a matematika kissé bonyolultnak tűnik, de kevésbé néz ki, miután néhány példát elkészített.
Egy pont az X tengelyen
Ha az egyik x érték - mondjuk x1 - 0, a művelet nagyon egyszerűvé válik. Például a (0, 2) és (2, 4) pontok egyenletének megoldásával a következőket kapjuk:
2 = ab0 és 4 = ab2. Mivel tudjuk, hogy b0 = 1, az első egyenlet 2 = a lesz. Az a helyettesítése a második egyenletben 4 = 2b eredményt eredményez2, amelyet egyszerűsítünk b2 = 2, vagy b = 2 négyzetgyöke, amely megközelítőleg 1,41-nek felel meg. A definiáló függvény így van y = 2 (1,41)x.
Egyik pont sem az X tengelyen
Ha egyik x-érték sem nulla, az egyenletpárok megoldása kissé nehézkes. Henochmath áttekint egy egyszerű példán keresztül, amely tisztázza ezt az eljárást. Példájában a pontpárt (2, 3) és (4, 27) választotta. Ez a következő egyenletpárt hozza létre:
27 = ab4
3 = ab2
Ha osztja az első egyenletet a másodikval, akkor kapsz
9 = b2
tehát b = 3. Lehetséges, hogy b is -3-nak felel meg, de ebben az esetben feltételezzük pozitív értékét.
Ezt az értéket helyettesítheti b-vel bármelyik egyenletben, hogy a-t kapja. A második egyenlet könnyebben használható, tehát:
3 = a (3)2 amely egyszerűsíthető 3 = a9, a = 3/9 vagy 1/3 értékre.
Az ezeken a pontokon áthaladó egyenlet így írható y = 1/3 (3)x.
Példa a való világból
1910 óta az emberi népesség növekedése exponenciális volt, és a növekedési görbe ábrázolásával a tudósok jobb helyzetben vannak a jövő előrejelzéséhez és megtervezéséhez. 1910-ben a világ népessége 1,75 milliárd, 2010-ben pedig 6,87 milliárd volt. Ha 1910-t vesszük ki a kiindulási pontként, akkor a pontpárt kapjuk (0, 1,75) és (100, 6,87). Mivel az első pont x-értéke nulla, könnyen megtalálhatjuk a.
1,75 = ab0 vagy a = 1,75. Ezt az értéket, a második pont értékével együtt az általános exponenciális egyenletbe illesztve, 6,87 = 1,75b100, amely a b értéket a 6.87 / 1.75 vagy 3.93 százas gyökereként adja meg. Így az egyenlet lesz y = 1,75 (a 3.93 századgyökere)x. Noha a diákszabályok elvégzéséhez többet kell megtenni, a tudósok ezt az egyenletet felhasználhatják a jövőbeli népességszámok becslésére, hogy segítsék a jelenlegi politikusokat a megfelelő politikák kidolgozásában.