Tartalom
A változás mértéke az egész tudományban és különösen a fizikában megmutatkozik olyan mennyiségek révén, mint a sebesség és a gyorsulás. A deriváltok matematikailag írják le az egyik mennyiség változásának sebességét egy másikhoz viszonyítva, de ezek kiszámítása néha bonyolult lehet, és az egyenlet formájában egy függvény helyett inkább egy gráfot mutathat be. Ha egy görbe grafikonja jelenik meg, és meg kell találnia a származékát, akkor lehet, hogy nem lesz olyan pontos, mint egy egyenlettel, de könnyen meg tudsz határozott becslést készíteni.
TL; DR (túl hosszú; nem olvastam)
Válasszon egy pontot a grafikonon, hogy megtalálja a származék értékét.
Rajzoljon egy egyeneset a gráf görbéjének érintőjén ezen a ponton.
Vegye le ennek a vonalnak a lejtését, és keresse meg a derivátum értékét a grafikon választott pontján.
Mi a származék?
Az egyenlet megkülönböztetésének elvont beállításán kívül kissé zavart lehet abban, hogy mi a származék valójában. Az algebrában a függvény derivációja egy egyenlet, amely megmutatja a függvény „lejtésének” értékét bármely ponton. Más szavakkal, megmondja, hogy az egyik mennyiség mennyiben változik, ha a másikban kis változás következik be. Egy grafikonon a vonal gradiense vagy lejtése megmutatja, hogy mennyi a függő változó (a y-axis) változik a független változóval (az x-tengely).
Az egyenes vonalú grafikonok esetében a grafikon meredekségének kiszámításával meghatározhatja a (állandó) változási sebességet. A görbék által leírt kapcsolatokat nem olyan könnyű kezelni, de az az elv, hogy a derivált csak a lejtőt jelenti (abban a pontban) továbbra is érvényes.
A görbék által leírt kapcsolatoknál a derivátum a görbe minden pontján más értéket vesz. A gráf deriváltjának becsléséhez ki kell választania egy pontot, amelyen a deriváltot veszi. Például, ha van egy gráf, amely az idő függvényében megmutatja a megtett távolságot, egy egyenes vonalú grafikonon a meredekség megmutatja az állandó sebességet. Az idővel változó sebességek esetén a grafikon görbe lenne, de egy egyenes, amely csak az egyik ponton megérinti a görbét (a görbe érintő vonal) képviseli a változás sebességét az adott ponton.
Válasszon egy helyet, ahol meg kell ismernie a származékot. A megtett távolság és az idő példájával válassza ki azt az időpontot, amikor meg akarja tudni az utazási sebességet. Ha több különböző ponton ismernie kell a sebességet, akkor ezt a folyamatot minden egyes ponton végrehajthatja. Ha 15 másodperccel a mozgás kezdete után meg akarja tudni a sebességet, válassza a görbe pontját a 15 másodpercnél x-tengely.
Rajzolj egy vonallal érintő vonalot az érdeklődés pontján. Szánjon rá időt erre, mert ezt a folyamat legfontosabb és legnagyobb kihívást jelentő része. A becslés jobb lesz, ha pontosabb érintő vonalot húz. Tartson egy vonalzót a görbe pontjáig, és állítsa be annak tájolását úgy, hogy a húzott vonal megmaradjon csak érintse meg a görbét azon a ponton, amely érdekli.
Rajzolja meg a vonalat, amíg a grafikon lehetővé teszi. Ügyeljen arra, hogy mindkét értékre könnyen beolvasson két értéket x és y koordinátákat, az egyik a vonal eleje közelében, a másik a vége közelében. Nem feltétlenül kell hosszú vonalat húznia (technikailag bármely egyenes alkalmas), de a hosszabb vonalak általában könnyebben megmérik a meredekséget.
Keressen két helyet a vonalon, és jegyezze fel a x és y koordináták nekik. Képzelje el például az érintő vonalát két figyelemre méltó pontként a x = 1, y = 3 és x = 10, y = 30, amelyet az 1. és a 2. pontnak hívhatunk. A szimbólumok használatával x1 és y1 az első pont koordinátáinak ábrázolása és x2 és y2 a második pont, a lejtő koordinátáinak ábrázolására m által adva:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Ez megmutatja a görbe származékát abban a pontban, ahol a vonal megérinti a görbét. A példában x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 és y2 = 30, tehát:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
A példában ez az eredmény a kiválasztott pont sebessége. Tehát, ha a xAz -ax-ot másodpercekben mértük és a yAz axit méterben mértük, az eredmény azt jelentené, hogy a kérdéses jármű másodpercenként 3 méter sebességgel haladt. A számított konkrét mennyiségetől függetlenül a származék becslésének folyamata azonos.