A Taylor sorozat egy numerikus módszer egy adott funkció ábrázolására. Ez a módszer számos mérnöki területen alkalmazható. Bizonyos esetekben, például a hőátadás, a differenciál analízis olyan egyenletet eredményez, amely megfelel a Taylor sorozat formájának. A Taylor sorozat akkor is jelenthet integrált, ha a funkció integrálja nem létezik analitikusan. Ezek a reprezentációk nem pontos értékek, de ha több kifejezést számolunk a sorozatban, a közelítés pontosabb lesz.
Válasszon egy központot a Taylor sorozathoz. Ez a szám tetszőleges, de érdemes egy olyan központot választani, ahol a függvényben szimmetria mutatkozik, vagy ahol a központ értéke leegyszerűsíti a probléma matematikáját. Ha kiszámítja az f (x) = sin (x) Taylor sorozatának ábrázolását, akkor jó használandó központ a = 0.
Határozza meg a kiszámítani kívánt kifejezések számát. Minél több kifejezést használsz, annál pontosabb lesz a ábrázolása, de mivel a Taylor sorozat végtelen sorozat, lehetetlen belefoglalni az összes lehetséges kifejezést. A sin (x) példa hat kifejezést fog használni.
Számítsa ki azokat a származékokat, amelyekre szüksége lesz a sorozathoz. Ebben a példában az összes származékot ki kell számolnia a hatodik derivatívig. Mivel a Taylor sorozat "n = 0" -on kezdődik, be kell vonnia a "0" -származékot, amely éppen az eredeti függvény. 0. származék = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Számítsa ki az egyes származékok értékét a választott központban. Ezek az értékek számolják a Taylor sorozat első hat ciklusát. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
A Taylor sorozat kifejezéseinek meghatározásához használja a derivált számításokat és a központot. 1. ciklus; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. ciklus; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. ciklus; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. ciklus; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. ciklus; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. ciklus; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor sorozat a sin (x) számára: sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Ejtsük el a nulla kifejezést a sorozatban, és egyszerűsítsük a kifejezést algebrai módon, hogy meghatározzuk a függvény egyszerűsített ábrázolását. Ez egy teljesen más sorozat lesz, tehát az "n" korábban használt értékei már nem vonatkoznak. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (X ^ 5) / 5! - ... Mivel a jelek váltakoznak a pozitív és a negatív között, az egyszerűsített egyenlet első komponensének (-1) ^ n-nek kell lennie, mivel a sorozatban nincsenek páros számok. Az (-1) ^ n kifejezés negatív jelet eredményez, ha n páratlan, és pozitív jelet, ha n páros. A páratlan számok soros ábrázolása (2n + 1). Ha n = 0, ez a kifejezés egyenlő 1-gyel; ha n = 1, ez a kifejezés megegyezik 3-val és így tovább a végtelenségig. Ebben a példában használja ezt a reprezentációt az x kitevőinek és a nevezőben szereplő tényezőknek
Használja a függvény ábrázolását az eredeti funkció helyett. A fejlettebb és nehezebb egyenletekhez a Taylor sorozat megoldhatatlanná teheti az egyenletet, vagy legalább ésszerű numerikus megoldást eredményezhet.