Tartalom
A függvények integrálása a kalkulus egyik alapvető alkalmazása. Időnként ez egyértelmű, mint például:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
Az ilyen típusú viszonylag bonyolult példában az alapképlet egy változatát használhatja a határozatlan integrálok integrálására:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
ahol A és C konstans.
Tehát ebben a példában
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C
Az alapvető négyzetgyökér-funkciók integrálása
A felszínen a négyzetgyök-funkció integrálása nehézkes. Például ösztönözheti Önt:
F (x) = ∫ √dx
De egy négyzetgyököt kitevőként is kifejezhet, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
Az integrál tehát:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
amelyre a fenti szokásos képletet alkalmazhatja:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Bonyolultabb négyzetgyökér-funkciók integrálása
Előfordulhat, hogy a radikális jel alatt több kifejezés is szerepel, mint például a példában:
F (x) = ∫ dx
Használhatja az u-helyettesítést a folytatáshoz. Itt u-val egyenlő a nevezőben szereplő mennyiséggel:
u = √ (x - 3)
Oldja meg ezt az x értéket úgy, hogy mindkét oldalát négyzetre osztja, és kivonja:
u2 = x - 3
x = u2 + 3
Ez lehetővé teszi, hogy dx-et kapjunk u értelemben az x származékának elvégzésével:
dx = (2u) du
Ha visszaváltjuk az eredeti integrálba, akkor megkapjuk
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Most integrálhatja ezt az alapképlet segítségével, és kifejezheti az u értéket x-ben:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C