Hogyan lehet megtalálni a polinom gyökereit?

Tartalom

• Hány gyökér?
• figyelmeztetések
• Gyökerek keresése tényező alapján: 1. példa
• Gyökerek keresése tényező alapján: 2. példa
• Keresse meg a gyökereket grafikon segítségével

A polinom gyökereit is nulláknak nevezzük, mert a gyökerek a x olyan értékek, amelyeknél a függvény nulla. Amikor a gyökereket ténylegesen megtalálja, többféle technikád áll rendelkezésére; a faktoring a leggyakrabban használt módszer, bár a grafikon is hasznos lehet.

Hány gyökér?

Vizsgálja meg a polinom legmagasabb fokú kifejezését - azaz a legmagasabb exponenssel rendelkező kifejezést. Az a kitevő, hogy hány gyökér lesz a polinomnak. Tehát ha a polinomban a legmagasabb exponens 2, akkor ennek két gyökere van; ha a legmagasabb exponens 3, akkor három gyökérrel rendelkezik; stb.

figyelmeztetések

Gyökerek keresése tényező alapján: 1. példa

A gyökerek megtalálásának legszélesebb körű módja az, ha a polinomot amennyire csak lehetséges, faktorizálva, majd az egyes kifejezéseket nullára állítva. Ez sokkal értelmesebb, ha néhány példát átnézett. Vegyük figyelembe az egyszerű polinomot x² - 4_x: _

Egy rövid vizsgálat megmutatja, hogy tényezőt tud figyelembe venni x a polinom mindkét kifejezéséből, amely megadja:




x(x – 4)

Állítsa az egyes kifejezéseket nullára. Ez azt jelenti, hogy meg kell oldani két egyenletet:

x = 0 az első kifejezés, amely nullára van állítva, és

x - 4 = 0 a nulla értékre állított második kifejezés.

Önnek már van megoldása az első ciklusra. Ha x = 0, akkor a teljes kifejezés nulla. Így x = 0 a polinom egyik gyökere vagy nulla.

Most mérlegelje a második ciklust, és megoldja az x. Ha mindkét oldalra hozzáad 4, akkor:

x - 4 + 4 = 0 + 4, ami egyszerűsíti a következőket:

x = 4. Tehát ha x = 4, akkor a második tényező nulla, ami azt jelenti, hogy a teljes polinom nullával is egyenlő.

Mivel az eredeti polinom második fokozatú volt (a legmagasabb exponens kettő volt), tudod, hogy ennek a polinomnak csak két lehetséges gyökere van. Mindkettőt már megtalálta, tehát csupán listáznia kell őket:




x = 0, x = 4

Gyökerek keresése tényező alapján: 2. példa

Itt egy újabb példa arra, hogy hogyan lehet gyökereket keresni faktoring segítségével, néhány divatos algebrát használva az út mentén. Vegyük figyelembe a polinomot x⁴ - 16. Az exponenseinek gyors áttekintése megmutatja, hogy ennek a polinomnak négy gyökérnek kell lennie; most itt az ideje, hogy megtalálja őket.

Észrevetted, hogy ezt a polinomot át lehet írni a négyzetek különbségeként? Tehát ahelyett, hogy x⁴ - 16, van:

(x²)² – 4²

A négyzetek különbségének képletét felhasználva a következőkre számíthat:

(x² – 4)(x² + 4)

Az első kifejezés ismét négyzetek különbsége. Tehát, bár a jobb oldali kifejezést tovább nem tudja befolyásolni, a bal oldali kifejezést még egy lépéssel is megfigyelheti:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Itt az ideje, hogy megtalálja a nullákat. Gyorsan kiderül, hogy ha x = 2, az első tényező nulla, és így a teljes kifejezés nulla.

Hasonlóképpen, ha x = -2, a második tényező nulla, és így a teljes kifejezés.

Így x = 2 és x = -2 mind a polinom nulla, vagy gyökere.

De mi lesz az utolsó ciklusban? Mivel egy "2" exponenssel rendelkezik, két gyökérrel kell rendelkeznie. De ezt a kifejezést nem tudja tényezőként figyelembe venni a szokásos valós számokkal. Használnia kell egy nagyon fejlett matematikai fogalmat, amelyet képzeletbeli számoknak, vagy ha tetszik, komplex számoknak hívni. Ez messze túlmutat a jelenlegi matematikai gyakorlat keretein, tehát már elegendő ahhoz, hogy megjegyezzük, hogy két valódi gyökered van (2 és -2), és két olyan képzeletbeli gyökered, amelyek meghatározatlanul maradnak.

Keresse meg a gyökereket grafikon segítségével

A gyökereket grafikonon keresztül is megtalálhatja, vagy legalább becsülheti meg. Minden gyökér azt a helyet jelöli, ahol a függvény gráfja keresztezi a x tengely. Tehát ha ábrázolja a vonalat, és megjegyzi a x azon koordináták, ahol a vonal keresztezi a x tengely, beillesztheti a becsült értéket x ezen pontok értékeit az egyenletbe, és ellenőrizze, hogy helyesek-e.

Tekintsük az első példát, amelyet dolgoztál a polinomra x² - 4_x_. Ha óvatosan húzza ki, akkor látni fogja, hogy a vonal keresztezi a x tengely a x = 0 és x = 4. Ha ezeket az értékeket beírja az eredeti egyenletbe, akkor kapja meg:

0² - 4 (0) = 0, tehát x = 0 érvényes nulla vagy gyökérérték volt a polinom számára.

4² - 4 (4) = 0, tehát x = 4 is érvényes nulla vagy gyökérérték erre a polinomra. És mivel a polinom 2. fokú volt, tudod, hogy abbahagyhatja a két gyökér keresését.