Az euklideszi távolság az euklideszi térben lévő két pont közötti távolság. Az euklideszi teret eredetileg a görög matematikus, Euclid dolgozta ki 300 körül. a szögek és a távolságok kapcsolatának tanulmányozása. Ez a geometria rendszer továbbra is használatban van, és az a középiskolás diákok a leggyakrabban tanulnak. Az euklideszi geometria kifejezetten a két és három méretű terekre vonatkozik. Ugyanakkor könnyen általánosítható magasabb rendű méretekre.
Számítsa ki az euklideszi távolságot egy dimenzióra. Az egyik dimenzióban lévő két pont közötti távolság egyszerűen a koordinátáik közötti különbség abszolút értéke. Matematikailag ezt | p1 - q1 | ahol p1 az első pont első koordinátája és q1 a második pont első koordinátája. E különbség abszolút értékét használjuk, mivel a távolságot általában csak nem-negatív értéknek tekintik.
Vegyünk két P és Q pontot kétdimenziós Euklideszi térben. A P-t a koordinátákkal (p1, p2) és a Q-t a koordinátákkal (q1, q2) írjuk le. Most készítsen egy vonalszakaszt P és Q végpontokkal. Ez a vonalszakasz egy jobb háromszög hipotenuszát fogja képezni. Az 1. lépésben kapott eredmények kibővítésével megjegyezzük, hogy ennek a háromszögnek a lábainak hossza | p1 - q1 | és | p2 - q2 |. A két pont közötti távolságot ekkor a hypotenuse hosszának tekintik.
Használja a Pitagorasi tételt a hipotenusz hosszának meghatározásához a 2. lépésben. Ez a tétel azt állítja, hogy c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, ahol c a hypotenusus háromszögének háromszöge, a, b pedig a másik hossza két láb. Ez megadja c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2) -ot. A két pont P = (p1, p2) és Q = (q1, q2) közötti távolsága tehát kétdimenziós térben ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Bővítse a 3. lépés eredményeit háromdimenziós térre. A P = (p1, p2, p3) és Q = (q1, q2, q3) pontok közötti távolságot ezután ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ponttal lehet megadni. ^ 2) ^ (1/2).
Általánosítsa a megoldást a 4. lépésben a P = (p1, p2, ..., pn) és Q = (q1, q2, ..., qn) pontok közötti távolság n dimenziójában. Ezt az általános megoldást ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2) formájában adhatjuk meg.