Tartalom
Az egyenletrendszerek megoldására leggyakrabban alkalmazott három módszer a szubsztitúció, az elimináció és a kibővített mátrix. A helyettesítés és az eltávolítás olyan egyszerű módszerek, amelyek hatékonyan megoldhatják a két egyenlet legtöbb rendszerét néhány egyszerű lépésben. A kiterjesztett mátrixok módszere több lépést igényel, de alkalmazása a rendszerek sokféleségére terjed ki.
Helyettesítés
A helyettesítés az az egyenletrendszer megoldásának módja, amelyben az összes egyenlőt kivéve az egyik egyenletből az összes változót eltávolítják, majd ezt az egyenletet megoldják. Ezt úgy érik el, ha a másik változót elkülönítik egy egyenletben, majd ezen változók értékeit helyettesítik egy másik egyenletben. Például az x + y = 4, 2x - 3y = 3 egyenletrendszer megoldásához, az első egyenletben különítsük el az x változót, hogy x = 4 - y legyenek, majd ezt az y értéket cseréljük a második egyenletre, hogy 2-et kapjunk. (4 - y) - 3y = 3. Ez az egyenlet -5y = -5 vagy y = 1 értékre egyszerűsödik. Csatlakoztassa ezt az értéket a második egyenlethez x érték eléréséhez: x + 1 = 4 vagy x = 3.
kiküszöböléséről
Az elimináció az egyenletrendszerek megoldásának másik módja az egyik egyenletnek csak egy változó átírásával. Az eliminációs módszer ezt úgy érheti el, ha egyenleteket egymással összeadnak vagy kivonnak, hogy töröljék az egyik változót. Például, ha hozzáadjuk az x + 2y = 3 és 2x - 2y = 3 egyenleteket, új egyenletet kapunk, 3x = 6 (vegye figyelembe, hogy az y kifejezések törlődtek). A rendszert ezután ugyanolyan módszerekkel oldjuk meg, mint a helyettesítést. Ha lehetetlen kikapcsolni az egyenletekben szereplő változókat, akkor az egész egyenletet szorozni kell egy tényezővel, hogy az együtthatók megegyezjenek.
Kiterjesztett mátrix
A kibővített mátrixok felhasználhatók az egyenletrendszerek megoldására. A kibővített mátrix sorokból áll az egyenletekhez, oszlopokhoz minden változóhoz és egy kibővített oszlopból, amely az egyenlet másik oldalán szereplő állandó kifejezést tartalmazza. Például a 2x + y = 4, 2x - y = 0 egyenletrendszer kibővített mátrixa ...,.
A megoldás meghatározása
A következő lépés az elemi sorműveletek használata, például egy sor szorozása vagy elosztása egy nullán kívüli állandóval, és sorok összeadása vagy kivonása. Ezeknek a műveleteknek a célja a mátrix átalakítása sor-ešelon formává, amelyben az egyes sorok első nullán kívüli bejegyzésének értéke 1, e bejegyzés felett és alatt minden nulla, és az első nullán kívüli bejegyzés mindegyikre sor mindig jobbra van az összes fenti bejegyzésnél a fölötte lévő sorokban. A fenti mátrix sor-ecsel formája ...]. Az első változó értékét az első sor adja (1x + 0y = 1 vagy x = 1). A második változó értékét a második sor adja (0x + 1y = 2 vagy y = 2).
Alkalmazások
A helyettesítés és az eltávolítás az egyenletek megoldásának egyszerűbb módszerei, és sokkal gyakrabban alkalmazzák, mint az algebrai kibővített mátrixok. A helyettesítési módszer különösen akkor hasznos, ha az egyik változó az egyenletek egyikében már el van különítve. Az eliminációs módszer akkor hasznos, ha az egyik változó együtthatója azonos (vagy annak negatív ekvivalense) az összes egyenletben. A kibővített mátrixok elsődleges előnye, hogy fel lehet használni három vagy több egyenletrendszereinek megoldására olyan helyzetekben, amikor a helyettesítés és kiküszöbölés megvalósíthatatlan vagy lehetetlen.